数式(A1-2)の検証(一様分布の場合)

これまで例で扱ってきた具体的な確率分布関数A(ξ)に対して、(A1-2)から\(g^*\)を検証してみる。

\(A(ξ) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (ξ \le -1) \\
(1+ξ)/2 & (-1 \lt ξ \le 1) \\
1 & (1 \le ξ)
\end{array}
\right.\)

\( \frac{dA(ξ)}{dξ}= \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (ξ \le -1 ) \\
1/2 & (-1 \lt ξ \le 1) \\
0 & ( 1 \lt ξ) \end{array}
\right.\)

の場合で、(A1-2)を使ってgを求めてみよう。

$$1-A(\frac{1}{g}-1)-(η-1)g\int_{-1}^{1/g-1}  (1+ξ) dA(ξ)=0$$
にA(ξ)を代入すると、

\( 1-\frac{1}{2g}-(η-1)g\int_{-1}^{1/g-1}  \frac{1+ξ}{2}dξ=0\)

\( 1-\frac{1}{2g}-(η-1)g\int_{0}^{1/g}  \frac{ξ}{2}dξ=0 \)

\( 1-\frac{1}{2g}-(η-1)g  [\frac{ξ^2}{4}]_{0}^{1/g} =0 \)

\( 1-\frac{1}{2g}-(η-1) \frac{1}{4g} =0 \)

\( g-\frac{1}{2}-(η-1) \frac{1}{4} =0 \)

\( g=\frac{1}{2}+(η-1) \frac{1}{4} \)

\[ g= \frac{η+1}{4} \]

となり、最適化価格の計算（例題4）｜一様分布で計算した結果と一致している。