数式(A1-2)の検証(指数分布の場合)

下記の指数関数を使った確率分布関数A(ξ)に対して、(A1-2)からg∗を求めて検証する。

\(A(ξ) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (ξ \le -1) \\
1-e^{-(1+ξ)} & (-1 \lt ξ )
\end{array}
\right.\)

\( \frac{dA(ξ)}{dξ}= \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (ξ \le -1 ) \\
e^{-(1+ξ)} & (-1 \lt ξ)
\end{array}
\right.\)

$$ 1-A(\frac{1}{g}-1)-(η-1)g\int_{-1}^{1/g-1}  (1+ξ) dA(ξ)=0 $$
にA(ξ)を代入すると、

\(1-(1-e^{-(1+\frac{1}{g}-1)})-(η-1)g\int_{-1}^{1/g-1}  (1+ξ) e^{-(1+ξ)}dξ=0 \)

\(e^{-\frac{1}{g}}-(η-1)g\int_{0}^{1/g}  ξ e^{-ξ}dξ=0 \)

\(e^{-\frac{1}{g}}+(η-1)g[(1+ξ) e^{-ξ}]\int_{0}^{1/g}  =0 \)

\(e^{-\frac{1}{g}}+(η-1)g( (1+1/g) e^{-1/g}       -1) =0 \)

\(e^{-\frac{1}{g}}+(η-1)( (g+1) e^{-1/g}-g) =0 \)

\(e^{-\frac{1}{g}}+((η-1)g+η-1)  e^{-1/g}-(η-1)g) =0 \)

\((η-1)g e^{-1/g}+η  e^{-1/g}-(η-1)g =0 \)

\((η-1)g (e^{-1/g}-1)+η  e^{-1/g} =0 \)

\(  (η-1)g (1-e^{-1/g}) = η  e^{-1/g}  \)

\(  \frac {g (1-e^{-1/g})}{e^{-1/g}} =  \frac{η}{η-1}    \)

\[  \frac { e^{1/g}-1}{1/g} =  \frac{η}{η-1}    \]

となり、最適化価格の計算(例題５)｜指数分布の計算結果と一致する。