最適賃金の計算（３）

最適賃金の計算（１）の続きをやる。

予想誤差を考慮しない場合つまり\(\hat E(l)=w^ε/{\hat E(b)}\)で、\( \min\{h, \hat E(l) \} = \hat E(l) \)の場合

利潤
\( = \hat E (a_τ)^{1/η} (j)^{1-1/η}( \min\{h, \hat E(l) \})^{γ(1-1/η)} – w \min\{h, \hat E(l) \}  \)
\( = \hat E (a_τ)^{1/η} (j)^{1-1/η}( \hat E(l) )^{γ(1-1/η)} – w  E(l)  \)
\( = \hat E (a_τ)^{1/η} (j)^{1-1/η}( w^ε/{\hat E(b)} )^{γ(1-1/η)} – w  {w^ε/{\hat E(b)}} \)
\( = \hat E (a_τ)^{1/η}/{\hat E(b)}^{γ(η-1)/η} \, j^{(η-1)/η} \,w^{εγ(1-1/η)}  –  {w^{ε+1}/{\hat E(b)}} \)

\(P=\hat E (a_τ)^{1/η} /{\hat E(b)}^{γ(η-1)/η} j^{(η-1)/η} \)
\(Q={\hat E(b)}\)とおいて、

\( = P w^{εγ(η-1)/η}  –  {w^{ε+1}/Q} \)

が最大になるwを求めるために、\(w\)で微分し、0と置く。

\( (εγ(η-1)/η) P w^{εγ(η-1)/η-1}  = (ε+1) {w^{ε}/Q} \)

\[ \frac{γε(η-1)}{(ε+1)η} P Q  =  w^{(εη+η-εγη+εγ)/η} \]

\[ w^{(εη+η-εγη+εγ)/η} = \frac{γε(η-1)}{(1+ε)η} P Q  \]

\[ w = \left[\frac{γε(η-1)}{(1+ε)η} P Q \right]^{η/(η+εη(1-γ)+εγ)} \]

\(PQ\)を計算すると、
\(PQ= j^{(η-1)/η} \hat E (a_τ)^{1/η}{\hat E(b)}^{-γ(1-1/η)}{\hat E(b)} \)

\( =j^{(η-1)/η} \hat E (a_τ)^{1/η}{\hat E(b)}^{1-γ(η-1)/η} \)

\( =j^{(η-1)/η} \hat E (a_τ)^{1/η}{\hat E(b)}^{(η-γ(η-1))/η} \)

となるので代入すると、\(w^* \)が求まる。

\[  \left[\frac{γε(η-1)}{(1+ε)η} j^{(η-1)/η} \hat E (a_τ)^{1/η}{\hat E(b)}^{(η-γ(η-1))/η}\right]^{η/(η+εη(1-γ)+εγ)} \]

書き直して、
\[ w^* = \left[\frac{γε(η-1)}{(1+ε)η} j^{\frac{η-1}{η}} \hat E (a_τ)^{\frac{1}{η}}
{\hat E(b)}^{\frac{η-γ(η-1)}{η}}\right]^\frac{η}{η+εη(1-γ)+εγ} \]

以上で式(A1-6)が得られた。