ここで、最適化価格を決定する定数\( g^*\)を定義する。
\( g^*\)はある方程式を満たす解で正常製品需給比率と呼ばれるある。
最適化価格は、\( g^*=\hat E(x/q) \)を満たす\( x=a p^{-η} \)によって決定される。
\( g^*\)は、\( g \)に関する方程式
$$ 1-A(\frac{1}{g}-1) -(η-1)g \int_{-1}^{1/g-1}{ \, (1+ξ) d A(ξ)}=0 $$
を満たす解となっている（数式は修正されている）。ここで\( g \)は、\( \hat E (x/q) = \hat E (a p^{-η}/q) \)によって定義される変数である。
ここで、確率変数となっているのは\(a\)であるので、\( g= \hat E(a) p^{-η} /q \)である。つまり、\( g \)は\( p \)に依存する変数（関数）といえる。
\(A(ξ)\)が定義域-1≦ξ≦1の範囲で一様に1/2の密度分布を持つ場合、正常需給比率\( g^* \)は\( (η+1)/4 \)である。この計算について、理解に苦しむところが多いので、これを実際に計算して求めることを当面の目標とする。この例題はよく使うことになるので、例題((a)-例1)と名付けておく。
この例題((a)-例1)について考える前に、関数Aをもっとシンプルな例から考える。この関数Aは、確率変数aが、100%の確率で\( \hat a \)をとる、つまり\( \hat a \)値しか取らない場合を考える。このとき、確率分布関数は、\(ξ \ge 0\)のときに1、それ以外では0になる関数となる。この場合、\( g= \hat a p^{-η}/q \)である。
\( g \gt 1 \)のときは \( 1/g -1 \lt 0 \)であるから \( A( 1/g -1 )= 0 \)、
\( g = 1 \)のときは \( 1/g -1 = 0 \)であるから\( A( 1/g -1 )= 1 \)、
\( g \lt 1 \)のときは \( 1/g -1 \gt 0 \)であるから\( A( 1/g -1 )= 1 \)。
分布関数が微分できない（不連続な点がある）ので積分が定義できないところもあるが、適宜都合よく解釈して\( \hat E (py) \)を計算すると、
$$ \hat E (py) = pq \left[ \int_{-1}^{1/g-1} g (1+ξ) dA(ξ) +1-A(1/g-1) \right] $$
\( g \lt 1 \)のとき、
$$pq \left[ \int_{-1}^{1/g-1} g (1+ξ) dA(ξ) +1-A(1/g-1) \right] $$
$$= pq \left[ \int_{-1}^{1/g-1} g (1+ξ) dA(ξ) +(1-1) \right] $$
$$= pq \left[ \int_{-1}^{0} g (1+ξ) dA(ξ) + g + \int_{0}^{1/g-1} g (1+ξ) dA(ξ) \right] $$
$$= pq \left[ g \right] =pqg$$
\( g = 1 \)のとき、
$$pq \left[ \int_{-1}^{1/g-1} g (1+ξ) dA(ξ) +1-A(1/g-1) \right] $$
$$= pq \left[ \int_{-1}^{1/g-1} g (1+ξ) dA(ξ) +(1-1) \right] $$
$$= pq \left[ \int_{-1}^{0} g (1+ξ) dA(ξ) + g \right] $$
$$= pq \left[ g \right] =pqg =pq$$
\( g \gt 1 \)のとき、
$$pq \left[ \int_{-1}^{1/g-1} g (1+ξ) dA(ξ) +1-A(1/g-1) \right] $$
$$= pq \left[ \int_{-1}^{1/g-1} g (1+ξ) dA(ξ) +1-0 \right] $$
$$= pq \left[ 1 \right] =pq$$
まとめると、\(g \le 1 \)のとき、\( pqg \)、\(g \gt 1 \)のとき、\( pq \)となる。
これは数学付録にかかれている結果と異なるので、なにか勘違いがあるのだとと思う。
数学付録での主張は、おそらく、このシンプルな\( ξ=0 \)の１点しか取り柄ない分布関数\( A(ξ) \)のもとでは、正常製品需給比率\(g^* = 1 \)であって、最適価格は\(1 =\hat a p^{-η}/ q \)すなわち、方程式\(q =\hat a p^{-η} \)を満たすpが最適価格\( p^*\)となるはずである。
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