コブ＝ダグラス型の生産関数

テキストの１．８節に、「（コブ＝ダグラス型の）生産関数を想定することにしよう．」と書かれています。この「コブ＝ダグラス型の生産関数」とははて？

Wikipediaの生産関数の項目に説明が書いてありました。

どうやら一般的によく使われるのは、\(Y = AK^α \cdot  L^β \)の形でY：生産が、K:資本,L:労働からどれくらい生産されるかを示すための関数としてよく使われるようです。Aは比例定数ですかね、技術改革などの影響を吸収するための変数のようです。そして、α＋βは1に近い数値を想定しています。

テキストでは、\( q_{t+τ} = j_t \cdot n_t^γ \)の形式ですので、なんと一変数の生産関数が想定されていることになります。一変数、ここまで単純化してよいのでしょうか？まあ、素人はそんなツッコミをせずに素直にこの関数を使うことを認めましょう。

変数を対数目盛で変換しすることを見据えて、\( q_{t+τ} = j_t \cdot n_t^γ \)を、\( \log q_{t+τ} =  \log j_t  +γ  \log n_t \)と変形します。Q=\(\log q_{t+τ}\)、N=\(\log n_t\)と変数変換すると、\( Q= \log j_t + γ N\)という一次関数になりますから、QとNの関係を示す生産関数は傾きはγ、y切片が\( \log j_t\)の直線になります。

なお、γが１のときは収穫率一定、１よりも小さいときは、収穫率逓減、１よりも大きいときは収穫率逓増と言うことになっています。