A(ξ)の密度分布が、-1から１の間で一様に1/2の値を取る場合。
\(A(ξ) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (ξ \le -1) \\
(1+ξ)/2 & (-1 \lt ξ \le 1) \\
1 & (1 \le ξ)
\end{array}
\right.\)
\( \frac{dA(ξ)}{dξ}= \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (ξ \le -1 ) \\
1/2 & (-1 \lt ξ \le 1) \\
0 & ( 1 \lt ξ) \end{array}
\right.\)
\(1/g-1 \le -1\)の場合
このケースはありえない。
\(-1 \lt 1/g-1 \le 1\)の場合
\(pq \int_{-1}^{1/g-1}g (1+ξ)dA(ξ) \)
\( =pqg \int_{-1}^{1/g-1} (1+ξ)(1/2)dξ \)
\( =p \hat a p^{-\eta} \left[(1+ξ)^2/2 (1/2) \right]_{-1}^{1/g-1} \)
\( =\frac{p \hat a p^{-\eta} }{4g^2} \)
\( =\frac{p^{1+\eta} q^2}{4 \hat a} \)
\( pq(1-A(1/g-1)] \)
\( =pq(1-(1+1/g-1)/2) \)
\( =pq(1-\frac{1}{2g}) \)
\( =pq-\frac{p^{1+\eta} q^2}{2 \hat a} \)
\( \hat E (\min \{ pq,px\} ) =\)
\( =\frac{p^{1+\eta} q^2}{4 \hat a} + pq-\frac{p^{1+\eta q^2}}{2 \hat a}\)
\( =pq -\frac{p^{1+\eta} q^2}{4 \hat a} \)
上記式をpで微分すると、
\( q – \frac{q^2 (1+\eta) p^\eta}{4 \hat a} \)
0になるのは、\( q = \frac{q^2 (1+\eta) p^\eta}{4 \hat a} \)の時、すなわち
\( p^*= \left( \frac{4 \hat a}{(1+\eta)q} \right)^{1/\eta} \)
このときは、\(g^*=\frac{1+\eta}{4}\)である。
\(1 \lt 1/g-1 \)の場合
\( \hat E (\min \{ pq,px\} ) = px =p^{1-\eta} \hat a \)
この関数は(η>1の前提より)単調減少であるから、最適価格は
\(p^*=\left(\frac {2 \hat a}{q}\right) ^{1/η}\)
コメント