予想誤差を考慮した場合の最適雇用を計算する。
\( \hat E(a_τ)\)または\( \hat E(a_τ:δ) \)：ｔ期の情報を元に予測した(ｔ+τ)期の予想誤差
\( \hat E(a_τ:δ_τ) \)：(ｔ+τ)期の情報を元に予測した(ｔ+τ)期の予想誤差
と表す。
τ期先の利潤
$$ \hat E (p_τ y_τ -w n )= \hat E \left( \left[ \frac {\hat E(a_τ)}{q_τ} \right]^{1/η} y_τ \right)-w n$$
を計算する。τ期先の最適価格を\( p^* \)，\( g^*\)を\({p^*}^{-η}\hat E(a_τ)/q_τ \)とする。
\( \hat E (p_τ y_τ -w n ) \)
\( =\hat E (p^* y_τ )-w n \)
\( =\hat E (p^* q_τ \left[ \int_{-1}^{1/g^*-1} g^* (1+ξ) dA(ξ) +1-A(1/g^*-1) \right] )-w n \)
\( \phi^{’’}=\int_{-1}^{1/g^*-1} g^* (1+ξ) dA(ξ) +1-A(1/g^*-1) \)
とおいて、
\( =\phi^{’’} \hat E (p^* q_τ )-w n \)
\( =\phi^{’’} \hat E ([\frac{\hat E(a_τ:δ_τ)}{g^*q_τ}]^{1/η} q_τ )-w n \)
\( =\phi^{’’} \hat E \left\{\left[\frac{\hat E(a_τ:δ_τ)}{\hat E(a_τ)}\right]^{1/η} \left[\frac{\hat E(a_τ)}{g^*}\right] ^{1/η} q_τ ^{(η-1)/η} \right\} -w n \)
\( =\phi^{’’} \hat E \left\{ \left[\frac{\hat E(a_τ:δ_τ)}{\hat E(a_τ)}\right]^{1/η} \right\} \left[\frac{\hat E(a_τ)}{g^*}\right] ^{1/η} q_τ ^{(η-1)/η} -w n \)
\( =\phi^{’’} \hat E \left\{ \left[\frac{\hat E(a_τ:δ_τ)}{\hat E(a_τ)}\right]^{1/η} \right\} \left[\frac{\hat E(a_τ)}{g^*}\right] ^{1/η} (j n^γ) ^{(η-1)/η} -w n \)
\( \phi^{’} = \phi^{’’} \hat E \left\{ \left[\frac{\hat E(a_τ:δ_τ)}{\hat E(a_τ)}\right]^{1/η} \right\} \)
とおいて、
\( =\phi^{’} \left[\frac{\hat E(a_τ)}{g^*}\right] ^{1/η} (j n^γ) ^{(η-1)/η} -w n \)
この式をnで微分して0といた式をnに関して解くと、
\( \frac{γ(η-1)}{η} \phi^{’} \left[\frac{\hat E(a_τ)}{g^*}\right] ^{1/η} j ^{(η-1)/η} n^{γ(η-1)/η-1} -w =0 \)
\(
\left(\frac{γ(η-1)}{η}\right)^η {\phi^{’}}^η \left[ \frac{\hat E(a_τ)}{g^*} \right] j ^{η-1} n^{γ(η-1)-η} = w^η
\)
\(
n^{η-γ(η-1)} = \left[ \frac{γ(η-1) {\phi^{’}}}{η} \right] ^η \left[ \frac{\hat E(a_τ)}{g^*} \right] j ^{η-1} w^{-η}
\)
\( \phi = \left[ \frac{γ(η-1) {\phi^{’}}}{η} \right] ^η \)
とおいて、
\(
n^{η-γ(η-1)} = \phi j ^{η-1} w^{-η} \left[ \frac{\hat E(a_τ)}{g^*} \right]
\)
\(
n = \left\{ \phi j ^{η-1} w^{-η} \left[ \frac{\hat E(a_τ)}{g^*} \right] \right\}^{1/(η-γ(η-1))}
\)
これが\(h^*\)(\(n^*\))である。
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