最適賃金の計算（５）

最適賃金の計算（4）の続き

\[ w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{n}{h} \right)^{γ(η-1)/η}  – \frac{n}{h}  \right\} \]

を計算する。

\( ξ= \frac{b}{ \hat E ( b)}-1 \)とおくと、

\( b =  \hat E ( b)(ξ+1) \)

\( \hat E \)の確率変数はξであってその確率分布関数は\(B(ξ)\)である。

場合分けして計算しておく。

Case1) \( ξ \lt 1/f  -1\)すなわち\(h\lt l\)の場合

\(h \lt l\)であるから、

\(n= \min(h,l)=h\)である。

\[ w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{n}{h} \right)^{γ(η-1)/η}  – \frac{n}{h}  \right\} \]

\[ = w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{h}{h} \right)^{γ(η-1)/η}  – \frac{h}{h}  \right\} \]

\[ = w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]    – 1  \right\} \]

\[ = w h\left[ \frac{η}{γ(η-1) } – 1 \right]      \hat E \left\{1 \right\}  \]

\[ = w h \left[ \frac{η}{γ(η-1) } -1 \right] \int_{-1}^{1/f-1} dB(ξ)  \]

\[ = w h \left[ \frac{η}{γ(η-1) } -1 \right]   B(\frac{1}{f}-1)   \]

Case2) \( ξ \ge 1/f  -1\)の場合

\(h \ge l\)であるから、

\(n= \min(h,l)=l\)である。

\[ w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{n}{h} \right)^{γ(η-1)/η}  – \frac{n}{h}  \right\} \]

\[ = w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{l}{h} \right)^{γ(η-1)/η}  – \frac{l}{h}  \right\} \]

\[ = w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{w^ε}{hb} \right)^{γ(η-1)/η}  – \frac{w^ε}{hb}  \right\} \]

\[ = w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{h}{w^ε}  b  \right ) ^{-γ(η-1)/η}  – (\frac{h}{w^ε} b)^{-1}  \right\} \]

\[ = w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{h}{w^ε}  \hat E ( b)(ξ+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}  \\
– (\frac{h}{w^ε} \hat E ( b)(ξ+1) )^{-1}  \right\} \]

\[ = w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( f(ξ+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}  –  (f (ξ+1))^{-1}  \right\} \]

\[ = w h \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right] \hat E \left\{   \left( f(ξ+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}\right\}  \\
– w h \hat E \left\{ [f (ξ+1)]^{-1}  \right\} \]

\[ = w h \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right] \int_{1/f-1}^{∞} \left[   \left( f(ξ+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}\right]dB(ξ) \\
– w h \int_{1/f-1}^{∞}  \left[f (ξ+1)\right]^{-1}  dB(ξ) \]

以上のまとめ

\[ w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{n}{h} \right)^{γ(η-1)/η}  – \frac{n}{h}  \right\} \\
= w h \left\{ \left[ \frac{η-γ(η-1)}{γ(η-1) }  \right]   B(\frac{1}{f}-1)   \\
+ \frac{η}{γ(η-1) }  \int_{1/f-1}^{∞} \left[   \left( f(ξ+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}\right]dB(ξ)  \\
–  \int_{1/f-1}^{∞}  \left[f (ξ+1)\right]^{-1}  dB(ξ) \right\}  \]

ここまでの計算だけでもてこずった。

この式を\(w\)で微分して0と置いた式をつくるが、これまた骨が折れる計算である。長くなるので次回にまわす。