最適賃金の計算（６）

なかなか微分で手こずってしまっているので、できたところから公開し、最後に組み合わせて答えを導き出す。

まず、目指すところは、

\[ w h \hat E \left\{ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right]  \left( \frac{n}{h} \right)^{γ(η-1)/η}  – \frac{n}{h}  \right\} \\
= w h \left\{ \left[ \frac{η-γ(η-1)}{γ(η-1) }  \right]   B(\frac{1}{f}-1)   \\
+ \left[ \frac{η}{γ(η-1) } \right] \int_{1/f-1}^{∞} \left[   \left( f(ξ+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}\right]dB(ξ)  \\
–  \int_{1/f-1}^{∞}  \left[f (ξ+1)\right]^{-1}  dB(ξ) \right\}  \]

この式を\(w\)で微分して0と置いた式をつくることである。

準備１　∂(wh)/∂w

\(  \frac{∂(wh)}{∂w} = \frac{-γ(η-1)}{η-γ(η-1)}h \)

準備２　∂f/∂w

\(  \frac{∂f}{∂w} = \frac{-(1+ε)η-εη(η-1)} {η-γ(η-1)w}f \)

準備３

\( \frac{B(1/f-1)}{∂w} = \frac{∂f}{∂w} \frac{∂(1/f-1)}{∂f} B^{’}(1/f-1)\)

\( \, = \frac{-(1+ε)η-εη(η-1)} {η-γ(η-1)w}f \frac{-1}{f^2}  \frac{B(1/f-1)}{∂(1/f-1)} \)

\( \, = \frac{(1+ε)η-εη(η-1)} {η-γ(η-1)wf}   \frac{B(1/f-1)}{∂(1/f-1)} \)

準備４

\( \frac{∂}{∂w}\int_{1/f-1}^{∞} \left[   \left( f(ξ+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}\right]dB(ξ)　\)

\( \, = \frac{∂f}{∂w} \frac{∂(1/f-1)}{∂d} \frac{∂}{∂(1/f-1)} \int_{1/f-1}^{∞} \left[   \left( f(ξ+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}\frac{dB(ξ)}{dξ}\right] dξ　\)

\( \, = \frac{∂f}{∂w} \frac{∂(1/f-1)}{∂d}  (\left[   \left( f(∞+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}\frac{dB(∞)}{dξ}\right] \\
\, – \left[   \left( f(1/f-1+1)  \right ) ^{-γ(η-1)/η}　B^{’}(1/f-1)　\right]) 　\)

\( \, = -\frac{∂f}{∂w} \frac{∂(1/f-1)}{∂d}  B^{’}(1/f-1) 　\)

準備５

\( \frac{∂}{∂w} \int_{1/f-1}^{∞}  \left[f (ξ+1)\right]^{-1}  dB(ξ) 　\)

\( \, = -\frac{∂f}{∂w} \frac{∂(1/f-1)}{∂d}  B^{’}(1/f-1) 　\)