一次同次関数とはどんな関数なのか例も示すよ

一次同次関数(1次同次関数)って、実は数学ではあまり使うことのない用語です。しかし、経済学を学ぶ時には避けては通れない用語です。ここでは一次同次関数がどういう関数なのかを説明します。また、その一般系である\(n\)次同次関数についても触れます。

一次同次とは平たく言うと、各項の次数が１次で統一されている関数という意味です。

一次同次関数の定義

３変数、４変数であっても同様の定義ができますが、まずよく使われる二つの変数の場合の定義を示します。

一次同次関数は、経済学の生産関数で使われることが多いです。

生産関数の場合、「一次同次関数」のことを「規模に関して収穫一定である関数」とも言います。

一次同次関数の例

超簡単な例

実用性はともかく、一次同次関数の簡単な例は、

\(F(x,y)=x+y\)

です。

念のために確認してみます。

\(F(aK,aN)=aK+aN=a(K+N)\)
\(aF(K,N)=a(K+N)\)

となっていますから、

\(F(aK,aN)=aF(K,N)\)

が成立しています。

関数\(F(K,L)\)が一次同次関数かどうかを確認するには、

\(F(aK,aN)\)と\(aF(K,N)\)をそれぞれ計算してみて、同じになるかどうかで判断します。

コブダグラス関数の場合

生産関数としてよく使われる、コブダグラス関数も一次同次になる場合があります。（後で示す\(n\)次同次関数になります。）

\(F(K,L)＝A \cdot K^α \cdot L^β\)

ここで\(A,α,β\)は定数です。

と表されるコブダグラス関数が一次同次かどうか調べてみます。

\(F(aK,aL)\\
=A \cdot (aK)^α \cdot (aL)^β\\
=A \cdot a^{α+β} \cdot K^α \cdot L^β\\
=a^{α+β} A \cdot K^α \cdot L^β\\
=a^{α+β} F(K,L)\)

ですから、\(α+β=1\)の場合に\(F(K,L)＝A \cdot K^α \cdot L^β\)は一次同次関数となります。

上記の計算より、例えば、

\(F(K,L)＝A \sqrt{KL}\)

は一次同次な関数です。

ｎ次同次関数

一次同次関数を一般的に拡張して\(n\)次同次関数の定義ができます。

さらに、変数の個数も一般化すると\(n\)次同次関数は下記のように定義されます。

関数\(F(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)がn次同次関数かどうかを確認するには、

\(F(aK_1,aK_2,\cdots,aK_m)\)と\(aF(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)をそれぞれ計算してみて、同じになるかどうかで判断します。

定義から、次の性質がすぐにわかります。

上記の性質を組み合わせて、いろいろな同次関数を作ることができます。

例えば、\(K,L\)を変数とすると、

\(2K^2L+KL^2\)は3次同次関数、

\(K^2+3L^2\)は2次同次関数

\(\displaystyle \frac{2K^2L+KL^2}{K^2+3L^2}\)

は1次同次関数です。

ゼロ次同次関数

\(n=1\)の場合の同次関数が一次同次関数でありますが、\(n=0\)の場合のゼロ次もよく使われます。

改めてゼロ次関数の定義を書き直すと

例えば、

\(\displaystyle \frac{3K}{2L}\)

や

\(\displaystyle \frac{KL}{K^2+L^2}\)

などがゼロ次同次関数になります。

同次関数でない関数

同次関数の例をいくつかあげましたが、逆に同次関数でない例をみることによって、より同次関数の特徴がわかりますので、いくつか同次関数でない例を挙げます。

同次関数でない関数の例

まず、\(n=1\)の場合で一次同次関数なのかどうか、計算して確認してみます。

\(F(aK,aL)=(aK)^2+3(aL)=a^2K^2+3aL\)

\(aF(K,L)=a(K^2+3L)=aK^2+3aL\)

となり、\(F(aK,aL)\)と\(aF(K,L)\)は同じになりませんから、一次同次関数とは言えません。

上記の\(F(K,L)\)は１次同次関数でないことはわかりましたが、2次同次関数かどうかは確認してみないとわかりません。

同様に、３次同次なのか、４次同次なのか、一般的に\(n\)次同次なのかは調べてみないとわかりません。

\(n\)次同次関数か調べてみます。

\(F(aK,aL)=(aK)^2+3(aL)=a^2K^2+3aL\)

\(a^nF(K,L)=a^n(K^2+3L)=a^nK^2+3a^nL\)

上記の２関数は\(n\)をどのように設定しても同じ関数になりません。

よって\(F(K,L)=K^2＋3L\)は\(n\)次同次関数ではないと言えます。