問題
\(\hat{\Omega}(\cdot)\)が、\(s\)の大きさのジャンプをする確立が\(\pi\)で、\(-s\)の大きさのジャンプをする確立が\(1-\pi\)であるベルヌイ試行分布(ただし\(0 < s\), \(\theta_- < \theta_0 < \theta_+ \), \(0 < \pi < 1\))であるとき、\(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)} \)を求めよ。
\[ \Omega(\xi)= \begin{cases} 0 & \mbox{if } \xi < -s \\ 1-\pi & \mbox{if } -s \leq \xi < s \\ 1 & \mbox{if } s \leq \xi \end{cases} \] \[ \hat{\omega} =\int_{-\infty}^{\infty} z d \hat{\Omega}(z) \] \[ \hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)} = \hat{\omega}+(z_0-\theta_0) -\int_{\theta_-}^{\theta_+}(z-\theta_0)d \hat{\Omega}(z-z_0) \]
\(\hat{\omega}\)の計算
\[ \frac{d\Omega(\xi)}{d\xi}= \begin{cases} 1-\pi & \mbox{if } \xi=-s \\ \pi & \mbox{if } \xi=s \\ 0 & \mbox{if } \xi \neq -s \mbox{ かつ } \xi \neq s \end{cases} \] であるから、 \[ \hat{\omega} =\int_{-\infty}^{\infty} z d \hat{\Omega}(z) =-s (1-\pi) +s \pi = s(2\pi -1) \]
\( \int_{\theta_-}^{\theta_+}(z-\theta_0)d \hat{\Omega}(z-z_0) \)の積分値
わかりやすいように積分変数を\(\xi=z-z_0\)に変換しておく。
\[ \int_{\theta_-}^{\theta_+}(z-\theta_0)d \hat{\Omega}(z-z_0) =\int_{\theta_- -z_0}^{\theta_+ -z_0}(\xi+z_0-\theta_0)d \hat{\Omega}(\xi) \] \( \int_{\theta_- -z_0}^{\theta_+ -z_0}(\xi+z_0-\theta_0)d \hat{\Omega}(\xi) \)は、\( -s \)と\( s \)が積分区間\( \mathrm{I}=[{\theta_- -z_0},{\theta_+ -z_0}] \)に含まれているかどうかで決まる。
つまり、\(-s,s,\theta_- -z_0,\theta_+ -z_0\)の大小関係によって、積分値が変わるのでそれぞれ場合分けして計算する。
場合分け（１）
\(-s < s < \theta _- -z_0\)のとき
すなわち\(z_0 < \theta_- -s\)のとき
\[ \int_{\theta_- -z_0}^{\theta_+ -z_0}(\xi+z_0-\theta_0)d \hat{\Omega}(\xi) =0 \]
場合分け（２）
\( -s < \theta_- -z_0 \leq s \leq \theta_+ -z_0\)のとき
すなわち\(z_0 < \theta_- +s\), \(\theta_- -s \leq z_0\leq \theta_+ -s\)のとき
(\(s \in \mathrm{I}\))、 \[ \int_{\theta_- -z_0}^{\theta_+ -z_0}(\xi+z_0-\theta_0)d \hat{\Omega}(\xi) =(s+z_0-\theta_0)\pi \]
場合分け（３）
\(-s < \theta_- -z_0 < \theta_+ -z_0 < s\)のとき
すなわち\(\theta_+ -s < z_0 < \theta_- +s\)のとき
\[ \int_{\theta_- -z_0}^{\theta_+ -z_0}(\xi+z_0-\theta_0)d \hat{\Omega}(\xi) =0 \]
場合分け（４）
\(\theta_- -z_0 \leq -s < s \leq \theta_+ -z_0\)のとき
すなわち\(\theta_- +s \leq z_0 \leq \theta_+ -s\) のとき
(\(-s, s \in \mathrm{I}\))
\[ \int_{\theta_- -z_0}^{\theta_+ -z_0}(\xi+z_0-\theta_0)d \hat{\Omega}(\xi) =(-s+z_0-\theta_0)(1-\pi) +(s+z_0-\theta_0)\pi =\hat{\omega}+z_0-\theta_0 \]
場合分け（５）
\(\theta_- -z_0 \leq -s \leq \theta_+ -z_0 < s\)のとき
すなわち\(\theta_- +s \leq z_0 \leq \theta_+ + s\), \(\theta_+ -s < z_0\)のとき
(\(-s \in \mathrm{I}\))
\[ \int_{\theta_- -z_0}^{\theta_+ -z_0}(\xi+z_0-\theta_0)d \hat{\Omega}(\xi) =(-s+z_0-\theta_0)(1-\pi) \]
場合分け（６）
\(\theta_+ -z_0 < -s < s\)のとき
すなわち\(\theta_+ +s < z_0\)のとき
\[ \int_{\theta_- -z_0}^{\theta_+ -z_0}(\xi+z_0-\theta_0)d \hat{\Omega}(\xi) =0 \]
\(\hat {\mathrm {E} } ( { \Delta \log \omega_0 : z_0 ) }\)の値
1) \(z_0 < \theta_- -s\) のとき
\begin{eqnarray} \hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)} &=&\hat{\omega}+(z_0-\theta_0) \\ &=&s(2\pi -1) + z_0-\theta_0 \end{eqnarray}
2) \(z_0 < \theta_- +s\), \(\theta_- -s \leq z_0 \leq \theta_+ -s\) のとき
(\(s \in \mathrm{I}\))、 \begin{eqnarray} \hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)} &=&\hat{\omega}+(z_0-\theta_0)-(s+z_0-\theta_0)\pi \\ &=&s(2\pi -1) + z_0-\theta_0-(s+z_0-\theta_0)\pi \\ &=&s \pi -s + z_0-\theta_0 -z_0 \pi +\theta_0 \pi \\ &=&(z_0 -\theta_0 -s)(1-\pi) \end{eqnarray}
3) \(-s < \theta_- -z_0 < \theta_+ -z_0 < s\) のとき
\begin{eqnarray} \hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)} &=&\hat{\omega}+(z_0-\theta_0)\\ &=&s(2\pi -1) + z_0-\theta_0 \end{eqnarray}
4) \(\theta_- +s \leq z_0 \leq \theta_+ -s\) のとき
(\(-s, s \in \mathrm{I}\))、 \begin{eqnarray} \hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)} &=&0 \end{eqnarray}
5) \(\theta_- +s \leq z_0 \leq \theta_+ + s\), \(\theta_+ -s < z_0\) のとき
(\(-s \in \mathrm{I}\))、 \begin{eqnarray} \hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)} &=&\hat{\omega}+(z_0-\theta_0) -(-s+z_0-\theta_0)(1-\pi)\\ &=&2s\pi -s + z_0-\theta_0 +s-z_0+\theta_0 -s \pi +z_0 \pi -\theta_0 \pi\\ &=&s\pi +z_0 \pi -\theta_0 \pi\\ &=& (z_0 -\theta_0+s) \pi \end{eqnarray}
6) \(\theta_+ +s < z_0\) のとき、
\begin{eqnarray}
\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)} &=&\hat{\omega}+(z_0-\theta_0)\\ &=&s(2\pi -1) + z_0-\theta_0
\end{eqnarray}
解答
\(\theta_- +s \leq \theta_+ -s\)の場合と、
\(\theta_+ -s < \theta_- +s\)の場合に
わけてまとめる。
\(\theta_- +s \leq \theta_+ -s\)の場合
\begin{eqnarray}
\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)}= \begin{cases} s(2\pi -1) + z_0-\theta_0 & \mbox{if } z_0 < \theta_- -s \\ (z_0 -\theta_0 -s)(1-\pi) & \mbox{if } \theta_- -s \leq z_0 \leq \theta_- +s \\ 0 & \mbox{if } \theta_- +s < z_0 < \theta_+ -s \\ (z_0 -\theta_0+s) \pi & \mbox{if } \theta_+ -s \leq z_0 \leq \theta_+ +s \\ s(2\pi -1) + z_0-\theta_0 & \mbox{if } \theta_+ +s < z_0 \\ \end{cases}
\end{eqnarray}
\(\theta_+ -s < \theta_- +s\)の場合
\begin{eqnarray} \hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)}= \begin{cases} s(2\pi -1) + z_0-\theta_0 & \mbox{if } z_0 < \theta_- -s \\ (z_0 -\theta_0 -s)(1-\pi) & \mbox{if } \theta_- -s \leq z_0 \leq \theta_+ -s \\ s(2\pi -1) + z_0-\theta_0 & \mbox{if } \theta_+ -s < z_0 < \theta_- +s \\ (z_0 -\theta_0+s) \pi & \mbox{if } \theta_- +s \leq z_0 \leq \theta_+ +s \\ s(2\pi -1) + z_0-\theta_0 & \mbox{if } \theta_+ +s < z_0 \\ \end{cases} \end{eqnarray}
備考
\(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)}\)の 非減少性
それぞれの場合の範囲内では\(z_0\)に関して非減少関数となっているが、範囲をまたがった場合も含めた全体として非減少関数となっているだろうか。それぞれの区間の両端の値を比較することで、\(z_0\)全体で非減少関数になっていることが確認できる。
まず、\(\theta_- +s \leq \theta_+ -s\)の場合を考える。
特別な\(z_0\)で\(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)}\)を求めてみると、 \(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0=\theta_- -s)}= (z_0 -\theta_0 -s)(1-\pi)=(1-\pi)(\theta_- -\theta_0 -2s)\)、 \(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0=\theta_-)}= (z_0 -\theta_0 -s)(1-\pi)=(1-\pi)(\theta_- -\theta_0 -s)\)、 \(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0=\theta_- +s)}= (z_0 -\theta_0 -s)(1-\pi)=(1-\pi)(\theta_- -\theta_0)\)、 \(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0=\theta_+ -s)}= (z_0 -\theta_0+s) \pi= \pi(\theta_+ -\theta_0)\)、 \(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0=\theta_+)}= (z_0 -\theta_0+s) \pi= \pi(\theta_+ -\theta_0+s)\)、 \(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0=\theta_+ +s)}= (z_0 -\theta_0+s) \pi= \pi(\theta_+ -\theta_0 +2s)\) である。
なお、本来\(z_0\)の定義域は、\(\theta_- \leq z_0 \leq \theta_+\)としてさしつかえない。
この範囲で書き直すと、
\begin{eqnarray}
\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)}= \begin{cases} (z_0 -\theta_0 -s)(1-\pi) <0 & \mbox{if } \theta_- \leq z_0 < \theta_- +s \\ 0 & \mbox{if } \theta_- +s \leq z_0 \leq \theta_+ -s \\ (z_0 -\theta_0+s) \pi >0 & \mbox{if } \theta_+ -s < z_0 \leq \theta_+ \end{cases} \end{eqnarray}
である。
\(\theta_- +s > \theta_+ -s\)の場合も同様のことが言えて、
\begin{eqnarray}
\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)}=
\begin{cases} (z_0 -\theta_0 -s)(1-\pi) <0 & \mbox{if } \theta_- \leq z_0 \leq \theta_- +s \\ s(2\pi -1) + z_0-\theta_0 & \mbox{if } \theta_- +s < z_0 < \theta_+ -s \\ (z_0 -\theta_0+s) \pi >0 & \mbox{if } \theta_+ -s \leq z_0 \leq \theta_+
\end{cases}
\end{eqnarray} となる。
いずれの場合も、\(z_0\)に関して非減少関数となっている\。
定義からの検証考察
なお、(A6-3)の式をつかわず、直接本文式(6-1)の定義をつかって\(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)}\)を計算してみる。
\begin{eqnarray}
\log(\omega_1)= \begin{cases} \log(\omega_0) & \mbox{if } \theta_- \leq \log(\omega_1^* )- \log(\omega_0) \leq \theta_+ \\
\log(\omega_1^*)-\theta_0 & \mbox{if } \theta_+ < \log(\omega_1^* )- \log(\omega_0) \\
\log(\omega_1^*)-\theta_0 & \mbox{if } \log(\omega_1^* )- \log(\omega_0) < \theta_- \end{cases} \end{eqnarray}
\(\log(\omega_1^*)-\log(\omega_0) \\
=\log(\omega_0^*)+(\log(\omega_1^*)-\log(\omega_0^*))-\log(\omega_0) \\
=z_0+\Delta{\log(\omega_0^*)}
\)
であるから、この定義は
\begin{eqnarray} \log(\omega_1)= \begin{cases} \log(\omega_0) & \mbox{if } \theta_- \leq z_0+\Delta{\log(\omega_0^*)} \leq \theta_+ \\ \log(\omega_1^*)-\theta_0 & \mbox{if } \theta_+ < z_0+\Delta{\log(\omega_0^*)} \\ \log(\omega_1^*)-\theta_0 & \mbox{if } z_0+\Delta{\log(\omega_0^*)} < \theta_- \end{cases} \end{eqnarray} と書き直せて、
\begin{eqnarray} \Delta \log (\omega_0)
=\log(\omega_1) – \log(\omega_0)
= \begin{cases} 0 & \mbox{if } \theta_- \leq z_0+\Delta{\log(\omega_0^*)} \leq \theta_+ \\
\log(\omega_1^*) – \log(\omega_0) -\theta_0 & \mbox{if } \theta_+ < z_0+\Delta{\log(\omega_0^*)} \mbox{ または } z_0+\Delta{\log(\omega_0^*)} < \theta_- \end{cases} \end{eqnarray}
となる。
したがって、\(\hat{\mathrm{E}} { ( \Delta \log \omega_0:z_0)}\)は、
\(\theta_- -\Delta{\log(\omega_0^*)} \leq z_0 \leq \theta_+ -\Delta{\log(\omega_0^*)}\)
となる確率を調べれば求められるはず。
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