Muthの(28)式の補足

Muth[1961]による農産物市場のモデルの(28)式に関する補足です。

(28)

\[P_t^e=P_{t-1}^e+ \frac{β}{β+γ} (P_{t-1}-P_{t-1}^e)\]

この式を導くのに必要な式は、下記の(27)式になります。

(27)

\[P_t^e=\frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-j}\]

それでは、式を導いていきます。

(27)式から(28)式を導く
まず、(27)式から\(t-1\)期の\(P_{t-1}^e\)を求めます。 \(\displaystyle P_{t-1}^e=\frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-1-j}\) 両辺に\(\frac{γ}{β+γ}\)をかけると \(\displaystyle \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e=\frac{γ}{β+γ} \frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{j} P_{t-1-j} \) \(\displaystyle \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e=\frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{j+1} P_{t-(j+1)} \)・・・(A) 添え字のj+1をkと置き換えると、 \(\displaystyle \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e=\frac{β}{γ} \sum_{k=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{k} P_{t-k} \) (27)の式から上記の(A)式を辺々引きます。 \(\displaystyle P_t^e – \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e = \frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-j} -\frac{β}{γ} \sum_{k=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{k} P_{t-k}\) \(\displaystyle P_t^e – \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e = \frac{β}{γ} \left( \frac{γ}{β+γ} P_{t-1} + \sum_{j=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-j} \right) -\frac{β}{γ} \sum_{k=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{k} P_{t-k}\) \(\displaystyle P_t^e – \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e = \frac{β}{γ} \frac{γ}{β+γ} P_{t-1} + \frac{β}{γ} \sum_{j=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-j} -\frac{β}{γ} \sum_{k=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{k} P_{t-k}\) \(\displaystyle P_t^e – \frac{β+γ-β}{β+γ} P_{t-1}^e = \frac{β}{β+γ} P_{t-1} \) \(\displaystyle P_t^e -( 1-\frac{β}{β+γ} )P_{t-1}^e = \frac{β}{β+γ} P_{t-1} \) \(\displaystyle P_t^e = ( 1-\frac{β}{β+γ} )P_{t-1}^e +\frac{β}{β+γ} P_{t-1} \) \(\displaystyle P_t^e = P_{t-1}^e – \frac{β}{β+γ} P_{t-1}^e +\frac{β}{β+γ} P_{t-1} \) \(\displaystyle P_t^e = P_{t-1}^e + \frac{β}{β+γ} ( P_{t-1} -P_{t-1}^e) \) 求める(28)式が得られました。

(27)式から(28)式を導く

まず、(27)式から\(t-1\)期の\(P_{t-1}^e\)を求めます。
\(\displaystyle P_{t-1}^e=\frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-1-j}\)

両辺に\(\frac{γ}{β+γ}\)をかけると

\(\displaystyle \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e=\frac{γ}{β+γ} \frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{j} P_{t-1-j}
\)

\(\displaystyle \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e=\frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{j+1} P_{t-(j+1)}
\)・・・(A)

添え字のj+1をkと置き換えると、

\(\displaystyle \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e=\frac{β}{γ} \sum_{k=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{k} P_{t-k}
\)

(27)の式から上記の(A)式を辺々引きます。

\(\displaystyle P_t^e – \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e
= \frac{β}{γ} \sum_{j=1}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-j}
-\frac{β}{γ} \sum_{k=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{k} P_{t-k}\)

\(\displaystyle P_t^e – \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e
= \frac{β}{γ} \left( \frac{γ}{β+γ} P_{t-1} + \sum_{j=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-j} \right)
-\frac{β}{γ} \sum_{k=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{k} P_{t-k}\)

\(\displaystyle P_t^e – \frac{γ}{β+γ} P_{t-1}^e
= \frac{β}{γ} \frac{γ}{β+γ} P_{t-1} + \frac{β}{γ} \sum_{j=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^j P_{t-j}
-\frac{β}{γ} \sum_{k=2}^∞ \left( \frac{γ}{β+γ} \right) ^{k} P_{t-k}\)

\(\displaystyle P_t^e – \frac{β+γ-β}{β+γ} P_{t-1}^e
= \frac{β}{β+γ} P_{t-1}
\)

\(\displaystyle P_t^e -( 1-\frac{β}{β+γ} )P_{t-1}^e
= \frac{β}{β+γ} P_{t-1}
\)

\(\displaystyle P_t^e
= ( 1-\frac{β}{β+γ} )P_{t-1}^e +\frac{β}{β+γ} P_{t-1}
\)

\(\displaystyle P_t^e
= P_{t-1}^e – \frac{β}{β+γ} P_{t-1}^e +\frac{β}{β+γ} P_{t-1}
\)

\(\displaystyle P_t^e
= P_{t-1}^e + \frac{β}{β+γ} ( P_{t-1} -P_{t-1}^e)
\)
求める(28)式が得られました。

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