一次同次関数(1次同次関数)って、実は数学ではあまり使うことのない用語です。しかし、経済学を学ぶ時には避けては通れない用語です。ここでは一次同次関数がどういう関数なのかを説明します。また、その一般系であるn次同次関数についても触れます。
一次同次とは平たく言うと、各項の次数が１次で統一されている関数という意味です。
ちなみに、一次同時ではなく、一次同次です。次数に関する性質を述べているからです。「次」の文字を使います。
一次同次関数の定義
３変数、４変数であっても同様の定義ができますが、まずよく使われる二つの変数の場合の定義を示します。
変数\(K,N\)を引数に持つ関数\(F(K,N)\)が一次同次関数であるとは、
任意の実数\(a\)に対して、\[F(aK,aN)=a F(K,N)\]が成立しているということである。
一次同次関数は、経済学の生産関数で使われることが多いです。
生産関数の場合、「一次同次関数」のことを「規模に関して収穫一定である関数」とも言います。
一次同次関数の例
超簡単な例
実用性はともかく、一次同次関数の簡単な例は、
\(F(x,y)=x+y\)
です。
念のために確認してみます。
\(F(aK,aN)=aK+aN=a(K+N)\)
\(aF(K,N)=a(K+N)\)
となっていますから、
\(F(aK,aN)=aF(K,N)\)
が成立しています。
関数\(F(K,L)\)が一次同次関数かどうかを確認するには、
\(F(aK,aN)\)と\(aF(K,N)\)をそれぞれ計算してみて、同じになるかどうかで判断します。
コブダグラス関数の場合
生産関数としてよく使われる、コブダグラス関数も一次同次になる場合があります。（後で示すn次同次関数になります。）
\(F(K,L)＝A \cdot K^α \cdot L^β\)
ここで\(A,α,β\)は定数です。
と表されるコブダグラス関数が一次同次かどうか調べてみます。
\(F(aK,aL)\\
=A \cdot (aK)^α \cdot (aL)^β\\
=A \cdot a^{α+β} \cdot K^α \cdot L^β\\
=a^{α+β} A \cdot K^α \cdot L^β\\
=a^{α+β} F(K,L)\)
ですから、\(α+β=1\)の場合に\(F(K,L)＝A \cdot K^α \cdot L^β\)は一次同次関数となります。
コブダグラス関数のような関数の場合で、指数部分を整数に限定せず実数を許す場合は、その底であるKやLは正の実数であると暗黙に宣言されたものとして考えます。また、同次性を考える場合には、aKやaLも正の実数である必要があるため、aの値も正の実数に制限されます。
理由はごく当然で、負やゼロを許すと、実数計算の範疇を超えてしまうからです。
上記の計算より、例えば、
\(F(K,L)＝A \sqrt{KL}\)
は一次同次な関数です。
ｎ次同次関数
一次同次関数を一般的に拡張してn次同次関数の定義ができます。
実数\(n\)に対して、変数\(K,N\)を引数に持つ関数\(F(K,N)\)が、
任意の実数\(a\)に対して、\[F(aK,aN)=a^n F(K,N)\]を満たしている場合、
\(F(K,N)\)はｎ次同次関数であると定義する。
さらに、変数の個数も一般化するとｎ次同次関数は下記のように定義されます。
実数\(n\)に対して、m個の変数\(K_1,K_2,\cdots,K_m\)を引数に持つ関数が、
任意の実数\(a\)に対して、\[F(aK_1,aK2,\cdots,aK_m)=a^n F(K_1,K_2,\cdots,K_m)\]を満たしている場合、
\(F(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)はｎ次同次関数であると定義する。
関数\(F(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)がn次同次関数かどうかを確認するには、
\(F(aK_1,aK_2,\cdots,aK_m)\)と\(aF(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)をそれぞれ計算してみて、同じになるかどうかで判断します。
定義から、次の性質がすぐにわかります。
\(F(K_1,K_2,\cdots,K_m)\),\(G(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)がn次同次関数であるとする。
ｎ次同次関数の和
\(F(K_1,K_2,\cdots,K_m)+G(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)
も、n次同次関数である。
ｎ次同次関数の差
\(F(K_1,K_2,\cdots,K_m)-G(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)
も、n次同次関数である。
\(F(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)を\(s\)次同次関数\(G(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)を\(t\)次同次関数であるとする。
二つの同次関数の積
\(F(K_1,K_2,\cdots,K_m)*G(K_1,K_2,\cdots,K_m)\)
は、\((s+t)\)次同次関数である。
二つの同次関数の商
\(\displaystyle \frac{F(K_1,K_2,\cdots,K_m)}{G(K_1,K_2,\cdots,K_m)}\)
は、\((s-t)\)次同次関数である。
コブ・ダグラス関数 \[A \cdot K_1^{α_1} \cdot K_2^{α_2} \cdots K_m^{α_m}\]は\((α_1+α_2+\cdots+α_m)\)次同次関数である。
上記の性質を組み合わせて、いろいろな同次関数を作ることができます。
例えば、\(K,L\)を変数とすると、
\(2K^2L+KL^2\)は3次同次関数、
\(K^2+3L^2\)は2次同次関数
\(\displaystyle \frac{2K^2L+KL^2}{K^2+3L^2}\)
は1次同次関数です。
ゼロ次同次関数
n=1の場合の同次関数が一次同次関数でありますが、n=0の場合のゼロ次もよく使われます。
改めてゼロ次関数の定義を書き直すと
変数\(K,N\)を引数に持つ関数\(F(K,N)\)がゼロ次同次関数であるとは、
任意の実数\(a\)に対して、\[F(aK,aN)= F(K,N)\]が成立しているということである。
例えば、
\(\displaystyle \frac{3K}{2L}\)
や
\(\displaystyle \frac{KL}{K^2+L^2}\)
などがゼロ次同次関数になります。
同次関数でない関数
同次関数の例をいくつかあげましたが、逆に同次関数でない例をみることによって、より同次関数の特徴がわかりますので、いくつか同次関数でない例を挙げます。
同次関数でない関数の例
\(\displaystyle F(K,L)=K^2＋3L\)
は同次関数ではありません。
まず、n=1の場合で一次同次関数なのかどうか、計算して確認してみます。
\(F(aK,aL)=(aK)^2+3(aL)=a^2K^2+3aL\)
\(aF(K,L)=a(K^2+3L)=aK^2+3aL\)
となり、\(F(aK,aL)\)と\(aF(K,L)\)は同じになりませんから、一次同次関数とは言えません。
上記の\(F(K,L)\)は1次同次関数でないことはわかりましたが、２次同次関数かどうかは確認してみないとわかりません。
同様に、3次同次なのか、4次同次なのか、一般的にｎ次同次なのかは調べてみないとわかりません。
n次同次関数か調べてみます。
\(F(aK,aL)=(aK)^2+3(aL)=a^2K^2+3aL\)
\(a^nF(K,L)=a^n(K^2+3L)=a^nK^2+3a^nL\)
上記の２関数はｎをどのように設定しても同じ関数になりません。
例えば、a=2,K=1,L=1等いくつか具体的な数を代入して2つの関数の値を計算すると、2つの関数が同じでない事がすぐに確認できます。
よって\(F(K,L)=K^2＋3L\)はｎ次同次関数ではないと言えます。
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